Вторая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)g(x) dx }[/math] и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и [math]\displaystyle{ f(x)\geqslant 0 }[/math] на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка [math]\displaystyle{ \xi\in[a,b] }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx }[/math].

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и [math]\displaystyle{ f(x)\geqslant 0 }[/math] на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка [math]\displaystyle{ \xi\in[a,b] }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx }[/math].

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка [math]\displaystyle{ \xi\in[a,b] }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx+f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx }[/math].